Question

已知橢圓：的長軸長為4，且過點．
（１）求橢圓的方程；
（２）設、、是橢圓上的三點，若，點為線段的中點，、兩點的坐標分別為、，求證：．

Answer 1

（1）；（2）詳見試題解析．

試題分析：（1）由已知列方程組可求得的值，進而可得橢圓的標準方程；（2）利用平面向量的坐標運算和待定系數法可得線段的中點的軌跡是以，為焦點的橢圓，有橢圓的定義最終可得．
試題解析：(1)由已知 　　　　　　　　　　　　　　　　　    ２分
解得.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　            ４分
橢圓的方程為．　　　　　　　　　　　　　　　　           ５分
（２）設，則，．   6分
由,
得,即．    ７分
是橢圓上一點，所以
，　　　　　　　　　　　      ８分
即
得，故．    ９分
又線段的中點的坐標為，　　　　　　　      10分
，11分
線段的中點在橢圓上．　        12分
橢圓的兩焦點恰為， 　　       13分
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　          14分