Question

已知f（x）是定義在R上的函數，且滿足下列條件：
①對任意的x、y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）；
②當x＞0時，f（x）＜0．
（1）證明f（x）在R上是減函數；
（2）在整數集合內，關于x的不等式f（x²-4）-f（2x-2a）＞f（0）的解集為{1}，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）首先取x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0），得f（0）=0，令y=-x，再取y=-x，可以證出f（-x）=-f（x），得函數f（x）在R上是奇函數，最后可以用定義證出f（x）在R上是減函數；
（2）原不等式等價于：x²-4＜2x-2a即x²-2x+2a-4＜0，設其左邊為函數g（x）=x²-2x+2a-4，通過討論函數值
g（0），g（1）和g（2）的正負，建立不等式組，可解出實數a的取值范圍．

解答：解：（1）當時x=y=0，f（0）=f（0）+f（0），
得f（0）=0，令y=-x，則f（0）=f（x）+f（-x）
∴f（-x）=-f（x）∴f（x）在R上是奇函數，
設x₁＞x₂，則f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）
=f（x₁-x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在R上是減函數（6分）
（2）f（x²-4）-f（2x-2a）＞f（0）等價于
x²-4＜2x-2a即x²-2x+2a-4＜0（8分）
令g（x）=x²-2x+2a-4
根據題意，

g(0)≥0 g(1)＜0 g(2)≥0

的實數a的取值范圍為2≤a＜

5

2

∴a∈[2，

5

2

)（12分）

點評：本題考查了函數的單調性與奇偶性的判斷與證明，及其一元二次方程與二次函數關系等知識點，屬于中檔題．