Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求在處的切線方程；

（2）令，已知函數有兩個極值點，且，求實數的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，若存在，使不等式對任意（取值范圍內的值）恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）求出導數，計算，由點斜式寫出切線方程并整理成一般式；

（2）求出，由，可得有兩個滿足題意的不等實根，由二次方程根的分布可得的范圍；

（3）由（2）求出兩極值點，確定的單調性，得在單調遞增，因此題設中使不等式成立，取為最大值，使之成立即可。化簡為不等式對任意的恒成立，引入函數，由導數研究此函數的單調性得不等式成立的條件．

解：當時，

時，

在處的切線方程為

化簡得：

對函數求導可得，

令，可得

，解得的取值范圍為

由，解得

而在上遞增，在上遞減，在上遞增

在單調遞增

在上，

，使不等式對恒成立

等價于不等式恒成立

即不等式對任意的恒成立

令，則

①當時，在上遞減

不合題意

②當時，

若，即時，則在上先遞減

時，不能恒成立

若即，則在上單調遞增

恒成立

的取值范圍為