Question

如圖，P-AD-C是直二面角，四邊形ABCD為菱形，且∠BAD=120°，AB=2，PA⊥AD，E是CD的中點，設PC與平面ABCD所成的角為45°．
（1）求證：CD⊥平面PAE；
（2）試問在線段AB（不包括端點）上是否存在一點F，使得二面角A-PF-E的大小為45°？若存在，請求出AF的長，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的判定

專題：空間角,空間向量及應用

分析：（1）根據線面垂直的判定定理即可證明CD⊥平面PAE；
（2）方法1：求出二面角的平面角，根據三角形的邊角關系建立方程關系即可求出AF的長度，
方法2：利用向量法，建立空間之間坐標系，利用向量法建立條件關系即可求出AF的長．

解答： 證明：（1）∵P-AD-C是直二面角，平面PAD∩平面ABCD=AD又PA⊥AD，PA?平面PAD，
∴PA⊥平面ABCD，
∵CD?平面ABCD，
∴CD⊥PA，
∵菱形ABCD中∠BAD=120°，∴∠ADC=60°AD=CD連接AC，
∴△ACD為正三角形，
又∵E為CD的中點，∴AE⊥CD又PA∩AE=A，PA，AE?平面PAE，
∴CD⊥平面PAD
（2）法一（幾何法）：假設存在，
由（1）知AE⊥平面PAF，過點A作AG⊥PF，垂足為G
由三垂線定理知EG⊥PF…（8分）∴∠AGE為二面角A-PF-E的平面角為45°，
等腰Rt△AGF中AG=AE，等邊△ACD中，AE=

3

Rt△PAF中，令AF=x∈（0，2），PF=

PA2+AF2

=

4+x2

，
由等面積法，PF•AG=PA•AF知AG=

2•x

4+x2

=AE=

3

，
解得x=2

3

∉(0，2)所以不存在這樣點P，
法二（向量法）：由（1）知，PA，AD，AE兩兩垂直，以A為坐標原點，分別以AB，AE，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系A-xyz，
PA⊥平面ABCD知∠PAC為PC與平面ABCD所成角，
∴∠PCA=45°∴PA=AC=AB=2，
∴P(0，0，2)，A(0，0，0)，E(0，

3

，0)，
∴

PE

=(0，

3

，-2)
設AF=a（0＜a＜2）∴F（a，0，0）∴

PF

=(a，0，-2)，
設平面PFE的一個法向量為

m

=(x，y，z)，
∴

m • PE =0 m • PF =0

，∴

3 y-2z=0 ax-2z=0

取x=1，則

m

=(1，

3 a

3

，

a

2

)
平面PAF的一個法向量

AE

=(0，

3

，0)，
∴|cos＜

m

，

AE

＞|=

m • AE

| m || AE |

=

| 3 2 (a-1)|

1+( a 2 )2+( 1-a 2 )2 3

=cos45°=

2

2

解得a=2

3

∉(0，2)
所以不存在這樣點P．

點評：本題主要考查直線和平面垂直的判斷，以及二面角大小的應用，利用定義法或者建立空間坐標系，利用向量法是解決本題的關鍵．