Question

工廠生產某種產品，次品率與日產量（萬件）間的關系（為常數，且），已知每生產一件合格產品盈利3元，每出現一件次品虧損1．5元

（1）將日盈利額（萬元）表示為日產量（萬件）的函數；

（2）為使日盈利額最大，日產量應為多少萬件？（注：）

 

Answer 1

（1）；（2）當時，日產量為萬件日盈利額最大；

當時，日產量為3萬件時日盈利額最大．

【解析】

試題分析：（1）要求日盈利額（萬元），只要找出日產量（萬件）中正品與次品的數量，根據分段函數分段特征，針對不同的次品率得到不同的正品與次品數即可；（2）根據（1）分兩段討論函數的最大值：當時，易知其日盈利額為0；當時，運用函數的導數在研究函數的單調性與最值中的應用，求出其最大值．最后綜合兩種情況寫出所求結果即可．

試題解析：（1）當時，，

當時，

∴日盈利額（萬元）與日產量（萬件）的函數關系式為

．

（2）當時，日盈利額為0；

當時，；

，令得或（舍去）

∴當時，

∴在上單增

∴最大值；

當時，在上單增，在上單減

∴最大值．

綜上：當時，日產量為萬件日盈利額最大；

當時，日產量為3萬件時日盈利額最大．

考點：分段函數的應用；導數在研究函數的單調性與最值中的應用．