Question

如圖，在三棱錐A-BCD中，AB=CD=6，AC=BD=8，BC=10，且A在平面BCD上的投影O恰好在BD上．
（1）求證：AB⊥CD；
（2）求證：AB⊥面ACD；
（3）求三棱錐A-BCD的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由已知中A在平面BCD上的投影O恰好在BD上，可得平面ABD⊥平面BCD，進而由勾股定理可得CD⊥BD，則CD⊥平面ABD，最后AB⊥CD；
（2）由勾股定理可得AB⊥AC，結合（1）中結論及線面垂直的判定定理可得AB⊥面ACD；
（3）根據（2）可得AB⊥AD，由勾股定理和等積法，求出AO的長，即棱錐的高，進而可得三棱錐A-BCD的體積．

解答： 證明：（1）∵A在平面BCD上的投影O恰好在BD上．
∴AO⊥平面BCD，
又∵AO?平面ABD，
∴平面ABD⊥平面BCD，
又∵CD=6，BD=8，BC=10，
∴CD⊥BD，
又∵平面ABD∩平面BCD=BD，CD?平面BCD，
∴CD⊥平面ABD，
又∵AB?平面ABD，
∴AB⊥CD；

（2）∵AB=6，AC=8，BC=10，
∴AB⊥AC，
又∵AC∩CD=C，AC，CD?面ACD，
∴AB⊥面ACD；
（3）∵AD?面ACD；
∴AB⊥AD，
∴AD=

BD2-AB2

=2

7

，
∴AO=

AB•AD

BD

=

3 7

2

，
故三棱錐A-BCD的體積V=

1

3

×

1

2

×6×8×

3 7

2

=12

7

點評：本題考查的知識點是面面垂直的判定定理，面面垂直的性質定理，線面垂直的判定定理，線面垂直的性質定理，棱錐的體積，熟練掌握空間線線垂直，線面垂直與面面垂直的轉化關系是解答的關鍵．