Question

過定點M（1，2）作兩條相互垂直的直線l₁、l₂，設原點到直線l₁、l₂的距離分別為d₁、d₂，則d₁+d₂的最大值是

 

．

Answer 1

考點：點到直線的距離公式

專題：直線與圓

分析：由題意易得d₁²+d₂²=5，可設d₁=

5

cosθ，d₂=

5

sinθ，可得d₁+d₂=

10

sin（θ+φ），由三角函數的最值可得．

解答： 解：作OP⊥l₁交l₁于點P，作OQ⊥l₂交l₂于點Q，可得四邊形OPMQ為矩形，
∴d₁²+d₂²=OM²=1²+2²=5，故可設d₁=

5

cosθ，d₂=

5

sinθ
∴d₁+d₂=

5

cosθ+

5

sinθ=

10

sin（θ+φ），其中tanφ=1，
∴當sin（θ+φ）取最大值1時，d₁+d₂=

10

sin（θ+φ）取最大值

10

故答案為：

10

點評：本題考查點到直線的距離，三角代換是解決問題的關鍵，屬基礎題．