Question

【題目】設函數，其中，，且．

（1）當時，函數在處的切線與直線平行，試求m的值；

（2）當時，令，若函數有兩個極值點，且，求 的取值范圍；

（3）當時，試討論函數的零點個數，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）求出導數，利用其意義就是斜率可求；

（2）求出的表達式，利用導數求出極值，可得范圍；

（3）利用導數判斷其單調性，結合零點存在定理可求.

（1）依題意得，，

∴

由題意知，

∴m=1

（2）由題意知：

則

令，得

故方程有兩個不相等的正數根，（）

則解得

由方程得，且

由，得

，

，即函數是上的增函數，

所以，故的取值范圍是

（3）依題意得，，

∴

令，得，∴，∵

∴函數在上單調遞減，在上單調遞增

∴

令（），則

∴

∴，即

∵，∴

又∵

∴

根據零點存在性定理知函數在和各有一個零點