Question

【題目】在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知向量 =（﹣1，2），又點A（8，0），B（n，t），C（ksinθ，t）．
（1）若 ⊥ ，且| |= | |，求向量 ；
（2）若向量 與向量 共線，常數k＞0，求f（θ）=tsinθ的值域；
（3）當（2）問中f（θ）的最大值4時，求 ．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，∵ ，

∴8﹣n+2t=0

又 ，∴（n﹣8）2+t2=5×64得t=±8，

∴ 或（﹣8，﹣8）

（2）解： ，

∵向量 與向量 共線，

∴t=﹣2ksinθ+16，f（θ）=tsinθ=（﹣2ksinθ+16）sinθ=

① ，∴ 時，f（θ）=tsinθ取最大值為 ，

sinθ=﹣1時，f（θ）取得最小值為﹣2k﹣16，

此時函數的值域為[﹣2k﹣16， ]

② ，

∴sinθ=1時，tsinθ取最大值為﹣2k+16，

sinθ=﹣1時，f（θ）取得最小值為﹣2k﹣16，

此時函數的值域為[﹣2k﹣16，﹣2k+16]．

（3）解：①當k＞4時，由 =4，得k=8，此時 ， ，

∴

②當0＜k＜4時，由﹣2k+16=4，得k=6，（舍去）

綜上所述，∴ =32

【解析】（1）利用向量垂直的坐標表示及向量模的坐標表示，列出關于n，t的方程組，并解即可．（2）向量 與向量 共線，得出f（θ）=tsinθ=（﹣2ksinθ+16）sinθ，利用配方法結合一元二次函數的最值性質進行求解．（3）根據（2）問中f（θ）的最大值4時，建立方程關系求出k或θ，求 即可．