Question

【題目】給定數列，記該數列前項中的最大項為，該數列后項，， …..，中的最小項為，.

（1）對于數列：3，4，7，1，求出相應的，，；

（2）是數列的前項和，若對任意，有，其中且，

①設，判斷數列是否為等比數列；

②若數列對應的滿足：對任意的正整數恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），，；（2）①當時，數列是等比數列，當時，數列不是等比數列；②.

【解析】

（1）根據，的定義可求相應的，，.

（2）根據題設的遞推關系可得，從而得到，根據是否為零點可判斷數列是否為等比數列，而根據以及，的定義可得數列的前項單調遞增，故可得的取值范圍.

解：（1），，；

，，；

，，.

（2）①當時，，所以；

當時，由，則，

兩式相減得，即，

所以.

因為，

所以當時，，故，

所以數列滿足，

即數列是以為首項，為公比的等比數列；

當時，，故，數列不是等比數列.

②由①知，當時，；

當時，.

又，

，

由于，

所以由，可得，.

所以對任意的正整數恒成立，

即數列的前項單調遞增是題設成立的必要條件，易知.

因為，，

所以.

當時，由，得，解得，

此時，不符合，舍去；

當，由，得，解得，

此時，符合.

綜上所述，的取值范圍是.