Question

已知分段函數f（x）=

2x-1(x≤0) f(x-1)+1(x＞0)

，則函數g（x）=f（x）-x在區間[-5，5]上的零點之和為

 

．

Answer 1

考點：分段函數的應用,函數零點的判定定理

專題：計算題,數形結合,函數的性質及應用

分析：當x≤0時，f（x）與y=x只有一個交點（0，0），函數y=f（x）與y=x在（0，1]，（1，2]，（2，3]，（3，4]，（4，5]上的交點依次為（0，0），（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5）．
即方程f（x）-x=0在（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的根依次為3，4，…n+1．方程f（x）-x=0的根按從小到大的順序排列所得0，1，2，3，4，5，可得零點之和．

解答： 解：當0＜x≤1時，有-1＜x-1＜0，則f（x）=f（x-1）+1=2^x-1，
當1＜x≤2時，有0＜x-1≤1，則f（x）=f（x-1）+1=2^x-2+1，
當2＜x≤3時，有1＜x-1≤2，則f（x）=f（x-1）+1=2^x-3+2，
當3＜x≤4時，有2＜x-1≤3，則f（x）=f（x-1）+1=2^x-4+3，
當4＜x≤5時，則f（x）=f（x-1）+1=2^x-5+4，
所以，函數f（x）=2^x的圖象與直線y=x+1的交點為：（0，1）和（1，2），
由于指數函數f（x）=2^x為增函數且圖象下凸，故它們只有這兩個交點．
然后：①將函數f（x）=2^x和y=x+1的圖象同時向下平移一個單位，
即得到函數f（x）=2^x-1和y=x的圖象，
取x≤0的部分，可見它們有且僅有一個交點（0，0）．
即當x≤0時，方程f（x）-x=0有且僅有一個根x=0．
②取①中函數f（x）=2^x-1和y=x圖象-1＜x≤0的部分，再同時向上和向右各平移一個單位，
即得f（x）=2^x-1和y=x在0＜x≤1上的圖象，此時它們仍然只有一個交點（1，1）．
即當0＜x≤1時，方程f（x）-x=0有且僅有一個根x=1．
③取②中函數f（x）=2^x-1和y=x在0＜x≤1上的圖象，繼續按照上述步驟進行，
即得到f（x）=2^x-2+1和y=x在1＜x≤2上的圖象，此時它們仍然只有一個交點（2，2）．
即當1＜x≤2時，方程f（x）-x=0有且僅有一個根x=2．
④以此類推，函數y=f（x）與y=x在（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交點依次為
（3，3），（4，4），…（n+1，n+1）．
即方程f（x）-x=0在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的根依次為3，4，…，n+1．
綜上所述方程f（x）-x=0的根按從小到大的順序排列所得數列為：0，1，2，3，4，…，
故函數g（x）=f（x）-x在區間[-5，5]內所有零點的和為 0+1+2+3+4+5=15．
故答案為：15．

點評：本題考查了分段函數及運用，解題時要注意分類討論思想和歸納總結，要細心解答，屬于中檔題．