Question

【題目】已知橢圓C 的離心率為 ，點(diǎn) 在橢圓C上．直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)（1，1），且與橢圓C交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M． （I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，延長(zhǎng)線(xiàn)段OM與橢圓C交于點(diǎn)P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求出此時(shí)直線(xiàn)l的方程，若不能，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】解：（I）由題意得 ，解得a2=4，b2=1． 所以橢圓C的方程為 ．
（Ⅱ）四邊形OAPB能為平行四邊形，分2種情況討論：
①當(dāng)直線(xiàn)l與x軸垂直時(shí)，直線(xiàn)l的方程為x=1滿(mǎn)足題意；
②當(dāng)直線(xiàn)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l：y=kx+m，顯然k≠0，m≠0，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），M（xM ， yM）．
將y=kx+m代入 ．得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0， ．
故 ， ．
四邊形OAPB為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線(xiàn)段AB與線(xiàn)段OP互相平分，即 ．
則 ．
由直線(xiàn)l：y=kx+m（k≠0，m≠0），過(guò)點(diǎn)（1，1），得m=1﹣k．
則 ，
則（4k2+1）（8k﹣3）=0．
則 ．滿(mǎn)足△＞0．
所以直線(xiàn)l的方程為 時(shí)，四邊形OAPB為平行四邊形．
綜上所述：直線(xiàn)l的方程為 或x=1
【解析】（Ⅰ）根據(jù)題意，可得 ，解得a2與b2的值，代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得答案；（Ⅱ）根據(jù)題意，分2種情況討論，（1）當(dāng)直線(xiàn)l與x軸垂直時(shí)，分析可得直線(xiàn)l的方程為x=1滿(mǎn)足題意；（2）當(dāng)直線(xiàn)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l為y=kx+m，分析A、B、M的坐標(biāo)，將y=kx+m代入 ．得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由根與系數(shù)的關(guān)系可得M的坐標(biāo)，進(jìn)而由四邊形OAPB為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線(xiàn)段AB與線(xiàn)段OP互相平分可得P的坐標(biāo)，代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得 ，進(jìn)而分析可得 ，解可得k、m的值，即可得答案．