Question

【題目】已知橢圓的離心率為,原點到橢圓的上頂點與右頂點連線的距離為.

（1）求橢圓的標準方程;

（2）斜率存在且不為零的直線與橢圓相交于,兩點,若線段的垂直平分線的縱截距為-1,求直線縱截距的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由離心率為，可以得到的關系，由原點到橢圓的上頂點與右頂點連線的距離為，可以得到的關系，結合，求出，寫出橢圓標準方程；

（2）設出斜率存在且不為零的直線的直線方程，與橢圓方程聯立，得到一個關于的一元二次方程，由根的判斷式大于零，得到一個不等式，設中點，利用根與系數關系可以求出坐標，結合已知，通過斜率公式，可以得到，結合求出的不等式，可以求出直線縱截距的取值范圍.

解：（1）原點到橢圓上頂點與右頂點連線的距離為.

又離心率，又因為，

解得，，所以橢圓方程為．

（2）設，直線的方程為：，

將代入得：

，

于是得：

且，

設中點，則，

因為線段的垂直平分線的縱截距為，所以線段的垂直平分線過點，

所以，即，

因為，所以， 所以，

代入得，

所以.