Question

16、用數學歸納法證明命題：
（n+1）×（n+2）×…×（n+n）=2ⁿ×1×3×…×（2n-1）

Answer 1

分析：本題考察的知識點是數學歸納法，要證明（n+1）×（n+2）×…×（n+n）=2ⁿ×1×3×…×（2n-1）成立，我們要先證明n=1時，等式成立，再假設n=k時，等式成立，進而求證n=k+1時，等式成立．

解答：證明：①當n=1時，左邊=2，右邊=2¹×1，等式成立；
②假設當n=k時，等式成立，
即（k+1）×（k+2）×…×（k+k）=2^k×1×3×…×（2k-1）
則當n=k+1時，
左邊=（k+1）×（k+2）×…×（k+k）×（k+k+1）×（k+1+k+1）
=2^k×1×3×…×（2k-1）×（k+k+1）×（k+1+k+1）
=2^k×1×3×…×（2k-1）×[2（k+1）-1]×（k+1）×2
=2^k+1×1×3×…×（2k-1）×[2（k+1）-1]
即n=k+1時，等式也成立．
所以（n+1）×（n+2）×…×（n+n）=2ⁿ×1×3×…×（2n-1）對任意正整數都成立．

點評：數學歸納法常常用來證明一個與自然數集N相關的性質，其步驟為：設P（n）是關于自然數n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數）成立的假設下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數n都成立．