Question

已知函數(shù)（為常數(shù)，）

（1）若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，求的值；

（2）求證：當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；

（3）若對任意的，總存在，使不等式成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

（1）; （2）詳見解析；（3）實(shí)數(shù)的取值范圍為.

【解析】

試題分析：（1）求出 ，令即可解得的值；

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021406042249196402/SYS201502140604433521397661_DA/SYS201502140604433521397661_DA.007.png">，且，當(dāng)時(shí)，恒成立等價(jià)于恒成立，即，只需證明，當(dāng)時(shí)，即可.

（3）時(shí)，由（2）知，在上的最大值為

于是問題等價(jià)于：對任意的，不等式恒成立.\

記，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在上的單調(diào)性，求出在上的最小值，解出正實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析：.【解析】
1分

（1）由已知，得且， 2分

----3分

（2）當(dāng)時(shí)，

4分

當(dāng)時(shí)， 又 5分

故在上是增函數(shù)

（3）時(shí)，由（2）知，在上的最大值為

于是問題等價(jià)于：對任意的，不等式恒成立.--7分

記

則. 8分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021406042249196402/SYS201502140604433521397661_DA/SYS201502140604433521397661_DA.041.png"> 9分

若，可知在區(qū)間上遞減，在此區(qū)間上，有

，與恒成立相矛盾，故，這時(shí)， 11分

在上遞增，恒有，滿足題設(shè)要求，

即 13分

實(shí)數(shù)的取值范圍為

考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用；2、分類討論的思想.