Question

【題目】已知點是圓內一點，直線.

（1）若圓的弦恰好被點平分，求弦所在直線的方程；

（2）若過點作圓的兩條互相垂直的弦，求四邊形的面積的最大值；

（3）若， 是上的動點，過作圓的兩條切線，切點分別為.證明：直線過定點.

Answer 1

【答案】(1) (2)11（3）見解析

【解析】試題分析：（1）由題意知，易知，進而得到弦所在直線的方程；

（2）設點到直線、的距離分別為，則， ，利用條件二元變一元，轉為二次函數最值問題；

（3）設．該圓的方程為，利用C、D在圓O： 上，求出CD方程，利用直線系求解即可．

試題解析：

（1）由題意知，∴，∵，∴，

因此弦所在直線方程為，即.

（2）設點到直線、的距離分別為，則，

， .

∴ ，

，當時取等號.

所以四邊形面積的最大值為11.

（3）由題意可知、兩點均在以為直徑的圓上，設，

則該圓的方程為，即： .

又、在圓上，

所以直線的方程為，即，

由得，所以直線過定點.