Question

【題目】已知奇函數.

（1）求實數的值；

（2）判斷函數在其定義域上的單調性，并用定義證明；

（3）若對所有的恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）函數是R上的增函數,證明見解析（3）

【解析】

（1）根據奇函數性質,可知,代入即可求得的值.

（2）利用定義,,作差后,將整式變形后即可判斷符號,進而判斷函數的單調性.

（3）根據奇函數的性質,結合單調遞增,即可將不等式變形為;結合輔助角公式及恒成立問題,解關于m的不等式組即可求得的取值范圍.

（1）若為奇函數,

則,

解得.

（2）由（1）可知,.則是R上的增函數.

證明：任取,

則

且

即

所以函數是R上的增函數.

（3）若對所有的恒成立,

因為是奇函數,

對所有的恒成立.

因為是R上的增函數,

對所有的恒成立.

即對所有的恒成立.

利用輔助角公式變形可得

因為對所有的恒成立.

.

,

解得.