Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知acosB+bcosA=2ccosC，
（1）求角C的值；
（2）若△ABC的面積為S=

3

4

c，且a+b=2c，求邊長c的值．

Answer 1

考點：余弦定理的應用,三角函數中的恒等變換應用,正弦定理,余弦定理

專題：解三角形

分析：（1）利用正弦定理把題設中關于邊的等式轉換成角的正弦，進而利用兩角和公式化簡整理求得cosC，進而求得C．
（2）根據余弦定理求得a和b的關系式，通過三角形的面積求出abc的關系，結就求出c即可．

解答： （本題滿分14分）
解：（1）由題意得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，
即sinC=2sinCcosC，故cosC=

1

2

，所以C=

π

3

．
（2）△ABC的面積為S=

3

4

c=

1

2

absinC=

1

4

ab，ab=c
cosC=

1

2

=

a2+b2-c2

2ab

，
所以ab=a²+b²-c²．
由a+b=2c，可得a²+b²+2ab=4c²，即ab=c²，
∴c=1．

點評：本題主要考查了余弦定理的應用，正弦定理的應用，兩角和公式的化簡求值．綜合考查了學生的基礎知識的掌握．