Question

已知拋物線方程為y²=-4x，準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)N，過(guò)N的直線交曲線于A、B，又AB的中垂線交x軸于點(diǎn)E，求E橫坐標(biāo)x₀的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先求線段AB的垂直平分線的方程，進(jìn)而可得x₀關(guān)于斜率的函數(shù)，利用配方法可求x₀的取值范圍

解答： 解：設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1）（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
把y=k（x-1）代入拋物線方程可得：k²x²+（-2k²+4）x+k²=0，
∴x₁+x₂=

2k2-4

k2

，x₁x₂=1，
∴y₁+y₂=-

4

k

，y₁y₂=4，
∴線段AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（

k2-2

k2

，-

2

k

），
∴直線CE的方程為y+

2

k

=-

1

k

（x-

k2-2

k2

）．
令y=0，則x₀=-2+

k2-2

k2

=-1+

2

k2

，
∵過(guò)點(diǎn)N（1，0）的直線AB交拋物線于點(diǎn)A、B，
∴k²＜

2

3

，k≠0，
∴x₀＞2，
∴x₀的取值范圍為（2，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題以拋物線為載體，考查直線與拋物線相交，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查函數(shù)的值域，綜合性強(qiáng)．