Question

如圖，在橫放得四棱錐E-ABCD中，底面ABCD是正方形，∠DAE=90°，且△ABE是等腰直角三角形，其中∠BAE=90°，連接AC、BD交于點O．
（1）求證：BD⊥平面AEC；
（2）若二面角A-BD-E的大小為60°，且直線EC與平面ABCD所成的角為θ，求sinθ．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：計算題,空間位置關系與距離

分析：（1）由已知，DA⊥AE，BA⊥AE，得到AE⊥平面ABCD，可得AE⊥BD，又AC⊥BC，從而有BD⊥平面AEC；
（2）連接EO，由（1）知BD⊥AO，BD⊥EO，∠AOE為二面角A-BD-E的平面角，即∠AOE=60°，不妨設AE=

3

，則可求得EC=

7

，從而可求sinθ的值．

解答： 解：（1）由已知，DA⊥AE，BA⊥AE，得到AE⊥平面ABCD，故AE⊥BD，又AC⊥BC，故BD⊥平面AEC；-----------5分
（2）連接EO，由（1）知BD⊥AO，BD⊥EO，∠AOE為二面角A-BD-E的平面角，即∠AOE=60°．------------7分
不妨設AE=

3

，則在Rt△AOE中，AO=1，AC=2，
又由（1）知AE⊥平面ABCD，∠ACE為直線EC在平面ABCD所成的角，即∠ACE=θ．在Tt△ACE中，EC=

AE2+AC2

=

7

，
故sinθ=

AE

EC

=

21

7

．----------------12分

點評：本題主要考察了二面角的平面角及求法，直線與平面垂直的判定，屬于基本知識的考查．