Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為矩形ABCD，E，F分別為AB，PC的中點，且PD=PE，PB=PC，求證：
（1）EF∥平面PAD；
（2）平面PDE⊥平面ABCD．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）取CD中點O，連結FO，EO，由已知得平面EOF∥平面ADP，從而能證明EF∥平面PAD．
（2）取BC中點G，DE中點H，連接PH，由已知得PG⊥BC，HG⊥BC，從而BC⊥面PHG，進而PH⊥BC，PH⊥DE，由此能證明平面PDE⊥平面ABCD．

解答： 證明：（1）取CD中點O，連結FO，EO，
∵E，F分別為AB，PC的中點，∴FO∥PD，EO∥AD，
又EO∩FO=O，∴平面EOF∥平面ADP，
∵EF?平面EOF，∴EF∥平面PAD．
（2）取BC中點G，DE中點H，連接PH，
∵G是BC中點，PB=PC，∴PG⊥BC，
∵H是DE中點，∴HG∥AB，∴HG⊥BC，
∴BC⊥面PHG，∴PH⊥BC，
∵PD=PE，∴PH⊥DE，
∵DE與BC在同一平面ABCD內，且不平行，
∴DE與BC相交，∴PH⊥面ABCD，
∵PH?平面PDE，∴平面PDE⊥平面ABCD．

點評：本題考查直線與平面平行、平面與平面垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．