Question

（本題滿分12分）
某班一信息奧賽同學編了下列運算程序，將數據輸入滿足如下性質:
①輸入1時，輸出結果是；
②輸入整數時，輸出結果是將前一結果先乘以3n-5，再除以3n+1.
（1）  求f(2),f(3),f(4);
（2） 試由（1）推測f(n)（其中）的表達式，并給出證明.

Answer 1

（1）;;.    
(2)猜想：（其中），以下用數學歸納法證明：見解析。

本試題主要是考查了數列的歸納猜想思想的運用，以及運用數學歸納法求證恒等式的綜合運用。
（1）由題設條件知f(1)= ,=,對于n令值，然后得到前幾個值。
（2）猜想：（其中）并運用數學歸納法，運用兩步來證明其成立。
解：由題設條件知f(1)= ,=,
;
;
.       ………………………………3分
(2)猜想：（其中）……………………5分
以下用數學歸納法證明：
（1）  當時，，
所以此時猜想成立。                ………………………………6分
（2）  假設時，成立
那么時，
……………9分
所以時，猜想成立。
由（1）（2）知，猜想：（其中）成立。
…………………………12分