Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=log3（ax2+3x+4）
（1）若f（1）＜2，求a的取值范圍
（2）若a=1，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（1）＜2，

∴l(xiāng)og3（a+7）＜2=log39，

∴0＜a+7＜9，

解得：﹣7＜a＜2

（2）解：若a=1，函數(shù)f（x）=log3（x2+3x+4）

x2+3x+4≥ ，且y=log3t為增函數(shù)，

故f（x）≥log3 ，

∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇log3 ，+∞）

【解析】（1）若f（1）＜2，則log3（a+7）＜2，解得a的取值范圍（2）若a=1，則f（x）=log3（x2+3x+4），由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出真數(shù)的范圍，進(jìn)而可得函數(shù)f（x）的值域．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用函數(shù)的值域和函數(shù)的最值及其幾何意義，掌握求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最小（大）數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值．因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的；利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值；利用圖象求函數(shù)的最大（小）值；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值即可以解答此題．