Question

【題目】已知函數f（x）=ex﹣ax（a為常數）的圖象與y軸交于點A，曲線y=f（x）在點A處的切線斜率為﹣1．
（1）求a的值及函數f（x）的極值；
（2）證明：當x＞0時，x2＜ex；
（3）證明：對任意給定的正數c，總存在x0 ， 使得當x∈（x0 ， +∞）時，恒有x2＜cex ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=ex﹣ax，得f′（x）=ex﹣a．

又f′（0）=1﹣a=﹣1，解得a=2，

∴f（x）=ex﹣2x，f′（x）=ex﹣2．

由f′（x）=0，得x=ln2，

當x＜ln2時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；當x＞ln2時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；

∴當x=ln2時，f（x）有極小值為f（ln2）=eln2﹣2ln2=2﹣ln4．f（x）無極大值

（2）證明：令g（x）=ex﹣x2，則g′（x）=ex﹣2x，

由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=eln2﹣2ln2=2﹣ln4＞0，即g′（x）＞0，

∴當x＞0時，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜ex

（3）首先證明當x∈（0，+∞）時，恒有 x3＜ex．

證明如下：

令h（x）= x3﹣ex，則h′（x）=x2﹣ex．

由（2）知，當x＞0時，x2＜ex，

從而h′（x）＜0，h（x）在（0，+∞）單調遞減，

所以h（x）＜h（0）=﹣1＜0，即 x3＜ex，

取x0= ，當x＞x0時，有 x2＜ x3＜ex．

因此，對任意給定的正數c，總存在x0，當x∈（x0，+∞）時，恒有x2＜cex

【解析】（1）利用導數的幾何意義求得a，再利用導數的符號變化可求得函數的極值；（2）構造函數g（x）=ex﹣x2 ， 求出導數，利用（1）問結論可得到函數的符號，從而判斷g（x）的單調性，即可得出結論；（3）首先可將要證明的不等式變形為 x2＜ex ， 進而發現當x＞ 時， x2＜ x3 ， 因此問題轉化為證明當x∈（0，+∞）時，恒有 x3＜ex ．