Question

【題目】在四棱錐中，是等邊三角形，底面是直角梯形，，，是線段的中點，底面，已知.

（1）求二面角的正弦值；

（2）試在平面上找一點，使得平面.

Answer 1

【答案】（1）.（2）.

【解析】試題分析：（1）為坐標原點，建立空間直角坐標系，即可得到 各點的坐標及平面的法向量為，并求得，進而求出平面的法向量為，即可求出，最后求出.（2）設，根據平面法向量定義得，即， ,再利用 建立方程求得，，進而求得點的坐標.

試題解析：

（1）因為底面，過作，則，

以為坐標原點，方向為軸的正半軸，

方向為軸的正半軸，方向為軸的正半軸建立空間直角坐標系，

則，，，，，，

，

設平面的法向量為，則，

，解得，又平面的法向量為，

所以，

所以.

（2）設點的坐標為，因為平面，

所以，即，也即，，

又，，，

所以 ，

所以得，，即，

，，所以，

所以點的坐標為.