Question

已知數列的相鄰兩項，是關于方程的兩根，且.
（1）求證：數列是等比數列；
（2）求數列的前項和；
（3）設函數，若對任意的都成立，求實數 的取值范圍.

Answer 1

（1）見解析（2）（3）

試題分析：（1）由一元二次方程根與系數的關系可得數列的遞推公式：，
設，易求得：，，
并注意到: ,可知數列是公比為的等比數列.
（2）由（1）的結果得數列的通項公式,于是: ,的拆項法,將數列的前項和化為兩個等比數列的前和.
（3）由韋達定理：=
所以，采用分離變量法求將求實數 的取值范圍問題，轉變成求關于的函數的最值問題.
試題解析：（1）∵，∴，
∵，
∴，
∴是首項為，公比為的等比數列。
且                    4分
（2）由（1）得=
  8分（注：未分奇偶寫也得8分）
（3）∵，
∴,∴,
∴.
∴當為奇數時，，
∴對任意的為奇數都成立，∴。                  11分
∴當為偶數時，，
∴，
∴對任意的為偶數都成立，∴                     13分
綜上所述，實數的取值范圍為。                   14分項和；3、等價轉化的思想.