Question

【題目】設函數f（x）=x3﹣ x2+6x+m．
（1）對于x∈R，f′（x）≥a恒成立，求a的最大值；
（2）若方程f（x）=0有且僅有一個實根，求m的取值范圍；
（3）當m=2時，若函數g（x）= + x﹣6+2blnx（b≠0）在[1，2]上單調遞減，求實數b的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=3x2﹣9x+6，

x∈R，f′（x）≥a恒成立，即3x2﹣9x+（6﹣a）≥0恒成立，

∴△=81﹣12（6﹣a）≤0，解得：a≤﹣ ，

∴a的最大值是﹣

（2）解：由f′（x）=3（x﹣1）（x﹣2），

令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜1，令f′（x）＜0，解得：1＜x＜2，

∴f（x）極大值=f（1）= +m，f（x）極小值=f（2）=2+m，

故f（2）＞0或f（1）＜0時，方程f（x）=0僅有1個實數根，

∴m的范圍是（﹣∞，﹣ ）∪（﹣2，+∞）

（3）解：∵g（x）= + x﹣6+2blnx（b≠0），

∴g′（x）=2x﹣ + ，

函數g（x）在[1，2]上單調遞減，則g′（x）≤0在[1，2]恒成立，

從而b≤ ﹣x2在[1，2]恒成立，令h（x）= ﹣x2，h′（x）=﹣ ﹣2x＜0，

∴h（x）在[1，2]遞減，h（x）min=h（2）=﹣ ，

故b的最大值是﹣ ．

【解析】（1）求出f（x）的導數，得到3x2﹣9x+（6﹣a）≥0恒成立，根據判別式△≤0，求出a的范圍即可；（2）求出f（x）的極大值和極小值，從而求出m的范圍即可；（3）求出g（x）的導數，問題轉化為b≤ ﹣x2在[1，2]恒成立，求出 ﹣x2在[1，2]上的最小值即可．
【考點精析】本題主要考查了基本求導法則和利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握若兩個函數可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數均不可導，則它們的和、差、積、商不一定不可導；一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能正確解答此題．