Question

已知關于x的不等式（ax-1）（x-2）＜0．
（1）若a=1，求不等式的解集；
（2）若a＞0，求不等式的解集．

Answer 1

考點：一元二次不等式的解法

專題：分類討論,不等式的解法及應用

分析：（1）a=1時，不等式化為（x-1）（x-2）＜0，求出解集即可；
（2）a＞0時，不等式（ax-1）（x-2）＜0化為（x-

1

a

）（x-2）＜0，討論a的值，比較

1

a

與2的大小，求出不等式的解集．

解答： 解：（1）∵不等式（ax-1）（x-2）＜0，
當a=1時，不等式化為（x-1）（x-2）＜0，
解得1＜x＜2，
∴不等式的解集為（1，2）；…（4分）
（2）∵a＞0，不等式（ax-1）（x-2）＜0可以化為
（x-

1

a

）（x-2）＜0；…（6分）
①若0＜a＜

1

2

，則

1

a

＞2，此時不等式的解集為（2，

1

a

）；…（8分）
②若a=

1

2

，則不等式為（x-2）²＜0，不等式的解集為∅；…（10分）
③若a＞

1

2

，則

1

a

＜2，此時不等式的解集為（

1

a

，2）；…（12分）
綜上所述，
當0＜a＜

1

2

時，不等式的解集為（2，

1

a

）；
當a=

1

2

時，不等式的解集為∅；
當a＞

1

2

時，不等式的解集為（

1

a

，2）．   …（14分）

點評：本題考查了考查了不等式的解法與應用問題，也考查了分類討論方法的應用問題，是基礎題目．