Question

【題目】某同學用“五點法”畫函數f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ）在某一個周期內的圖象時，列表并填入了部分數據，如表：

ωx+φ	0		π		2π
x
f（x）	0	3	0	﹣3	0

（1）請將表中數據補充完整，并直接寫出函數f（x）的解析式；
（2）若將函數f（x）的圖象上所有點的橫坐標變為原來的2倍，縱坐標不變，得到函數g（x）的圖象，求當x∈[﹣ ， ]時，函數g（x）的值域；
（3）若將y=f（x）圖象上所有點向左平移θ（θ＞0）個單位長度，得到y=h（x）的圖象，若=h（x）圖象的一個對稱中心為（ ），求θ的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據表中已知數據，解得A=3，ω=2，φ= ，

數據補全如下表：

ωx+φ	0		π		2π
x	﹣
f（x）	0	3	0	﹣3	0

函數表達式為f（x）=3sin（2x+ ）

（2）解：將函數f（x）的圖象上所有點的橫坐標變為原來的2倍，縱坐標不變，

得到圖象對于的函數解析式為：g（x）=3sin（x+ ）．

由x∈[﹣ ， ]，可得：x+ ∈[﹣ ， ]，可得：sin（x+ ）∈[﹣ ，1]，

可得：函數g（x）=3sin（x+ ）∈[﹣ ，3]

（3）解：若將y=f（x）圖象上所有點向左平移θ（θ＞0）個單位長度，得到y=h（x）的圖象，若h（x）圖象的一個對稱中心為（ ），

由（Ⅰ）知f（x）=3sin（2x+ ），得g（x）=3sin（2x+2θ+ ）．

因為y=sinx的對稱中心為（kπ，0），k∈Z．

令2x+2θ+ =kπ，解得x= ﹣θ，k∈Z．

由于函數y=g（x）的圖象關于點（ ，0）成中心對稱，令： ﹣θ= ，

解得θ= ﹣ ，k∈Z．由θ＞0可知，當k=1時，θ取得最小值

【解析】（1）由表中數據列關于ω、φ的二元一次方程組，求得A、ω、φ的值，得到函數解析式，進一步完成數據補充．（2）根據函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律可求g（x），利用正弦函數的性質可求其值域．（3）由（1）及函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律得g（x），令2x+2θ+ =kπ，解得x= ﹣θ，k∈Z．令： ﹣θ= ，結合θ＞0即可解得θ的最小值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解五點法作函數y=Asin（ωx+φ）的圖象(描點法及其特例—五點作圖法（正、余弦曲線），三點二線作圖法（正、余切曲線）)，還要掌握函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換(圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數的圖象)的相關知識才是答題的關鍵．