Question

已知函數f（x）=log_a

x-2

x+2

；
（1）判斷函數奇偶性，并說明理由；
（2）求函數f（x）的反函數f^-1（x）；
（3）若函數的定義域為[α，β]，值域為[log_aa（β-1），log_aa（α-1）]，并且f（x）在[α，β]上為減函數．求a的取值范圍．

Answer 1

考點：對數函數圖象與性質的綜合應用

專題：計算題,轉化思想,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）求出定義域，再計算f（x）+f（-x），即可判斷奇偶性；
（2）由函數反解出x，再將x換為y，y換為x，即可得到反函數；
（3）運用減函數可得f（α）=log_aa（α-1），f（β）=log_aa（β-1），求出α，β＞2，且為ax²+（a-1）x+2（1-a）=0的兩根，運用判別式大于0，對稱軸大于2，代入x=2大于0，解不等式即可得到a的范圍．

解答： 解：（1）由

x-2

x+2

＞0，解得x＞2或x＜-2．
則定義域為（-∞，-2）∪（2，+∞），關于原點對稱，
又f（x）+f（-x）=log_a

x-2

x+2

+log_a

-x-2

-x+2

=log_a1=0，
所以f（x）為奇函數；
（2）由y=log_a

x-2

x+2

，即有

x-2

x+2

=a^y，
解得x=

2(1+ay)

1-ay

，
則有f-1(x)=

2(1+ax)

(1-ax)

(x≠0)；
（3）按題意，得loga

α-2

α+2

=f(x)max=logaa(α-1)，
∴

α-2 α+2 ＞0 α-1＞0

，即α＞2，
又loga

β-2

β+2

=f（x）_min=log_aa（β-1），
同樣可得，β＞2．
∴關于x的方程loga

x-2

x+2

=logaa(x-1)在（2，+∞）內有二不等實根α、β．
?關于x的二次方程ax²+（a-1）x+2（1-a）=0在（2，+∞）內有二異根α、β，
則有

a＞0且a≠1 △=(a-1)2+8a(a-1)＞0 - a-1 2a ＞2 4a+2(a-1)+2(1-a)＞0

即有

a＞0且a≠1 a＞1或a＜ 1 9 0＜a＜ 1 5 a＞0

，
故0＜a＜

1

9

．

點評：本題考查函數的奇偶性的判斷，考查反函數的求法，考查函數的單調性的運用，考查二次方程實根的分布，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．