Question

【題目】某大型公司為了切實保障員工的健康安全，貫徹好衛生防疫工作的相關要求，決定在全公司范圍內舉行一次乙肝普查.為此需要抽驗960人的血樣進行化驗，由于人數較多，檢疫部門制定了下列兩種可供選擇的方案.方案①：將每個人的血分別化驗，這時需要驗960次.方案②：按個人一組進行隨機分組，把從每組個人抽來的血混合在一起進行檢驗，如果每個人的血均為陰性，則驗出的結果呈陰性，這個人的血就只需檢驗一次（這時認為每個人的血化驗次）；否則，若呈陽性，則需對這個人的血樣再分別進行一次化驗.這樣，該組個人的血總共需要化驗次.假設此次普查中每個人的血樣化驗呈陽性的概率為，且這些人之間的試驗反應相互獨立.

（1）設方案②中，某組個人中每個人的血化驗次數為，求的分布列；

（2）設.試比較方案②中，分別取2，3，4時，各需化驗的平均總次數；并指出在這三種分組情況下，相比方案①，化驗次數最多可以平均減少多少次？（最后結果四舍五入保留整數）.

Answer 1

【答案】（1）分布列見解析；（2）見解析.

【解析】

(1)易得可能的取值為,再求分布列即可.

(2)根據(1)中的分布列,分別求得時的數學期望,再分析三種情況下需要化驗的總次數,從而得到最多可以減少的次數即可.

（1）設每個人的血呈陰性反應的概率為,則.

所以個人的血混合后呈陰性反應的概率為,呈陽性反應的概率為.

依題意可知所以X的分布列為：

（2）方案②中.

結合（1）知每個人的平均化驗次數為：

.

所以當時,,此時960人需要化驗的總次數為662次,

時,,此時960人需要化驗的總次數為580次,

時,,此時960人需要化驗的次數總為570次,

即時化驗次數最多, 時次數居中, 時化驗次數最少.

而采用方案①則需化驗960次,

故在這三種分組情況下,相比方案①,當時化驗次數最多可以平均減少960-570=390次.