Question

某廠家根據以往的生產銷售經驗，得到下面有關生產銷售的統計規律：生產某種產品每年需要固定投入100萬元，此外每生產1件該產品，還需要增加投資1萬元，設年產量為x（x∈N^*）件，當x＜20時，年銷售總收入為（33x-x²）萬元；當x≥20時，年銷售總收入為260萬元，記該工廠生產并銷售這種產品所得的年利潤為y萬元，假定該產品產銷平衡（即生產的產品都能賣掉），根據上述統計規律，請完成下列問題：
（1）求利潤函數y=f（x）的解析式
（2）工廠每年生產多少件該產品，可使盈利最多．

Answer 1

考點：函數解析式的求解及常用方法

專題：函數的性質及應用

分析：（1）通過利潤=收入-投入，求出函數的解析式；（2）分別求出x＜20，x≥20時的函數的最大值，從而得到答案．

解答： 解：（1）由題意得：
y=f（x）=

-x2+32x-100，(x＜20，x∈N*) 250-x，(x≥20，x∈N*)

；
（2）x＜20時，f（x）=-x²+32x-100=-（x-16）²+156≤156（萬元），
x≥20時，f（x）=250-x，當x=20時，f（x）最大值為：230（萬元），
∴工廠每年生產20件該產品，可使盈利最多．

點評：本題考查了求函數的解析式問題，考查了函數的最值問題，是一道基礎題．