Question

【題目】本題共3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分9分.

已知數列滿足.

（1）若，求的取值范圍；

（2）若是公比為等比數列，，求的取值范圍；

（3）若成等差數列，且，求正整數的最大值，以及取最大值時相應數列的公差.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）的最大值為1999，此時公差為.

【解析】

（1）依題意：，又將已知代入求出x的范圍；

（2）先求出通項：，由求出，對q分類討論求出Sn分別代入不等式Sn≤Sn+1≤3Sn，得到關于q的不等式組，解不等式組求出q的范圍．

（3）依題意得到關于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值時a1，a2，…ak的公差．

（1）依題意：，

∴；又

∴3≤x≤27，

綜上可得：3≤x≤6

（2）由已知得，，，

∴，

當q＝1時，Sn＝n，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，成立．

當1＜q≤3時，，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，

∴

不等式

∵q＞1，故3qn+1﹣qn﹣2＝qn（3q﹣1）﹣2＞2qn﹣2＞0恒成立，

而對于不等式qn+1﹣3qn+2≤0，令n＝1，

得q2﹣3q+2≤0，

解得1≤q≤2，又當1≤q≤2，q﹣3＜0，

∴qn+1﹣3qn+2＝qn（q﹣3）+2≤q（q﹣3）+2＝（q﹣1）（q﹣2）≤0成立，

∴1＜q≤2，

當時，

，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，

∴此不等式即，

3q﹣1＞0，q﹣3＜0，

3qn+1﹣qn﹣2＝qn（3q﹣1）﹣2＜2qn﹣2＜0，

qn+1﹣3qn+2＝qn（q﹣3）+2≥q（q﹣3）+2＝（q﹣1）（q﹣2）＞0

∴時，不等式恒成立，

∴q的取值范圍為：．

（3）設a1，a2，…ak的公差為d．由，且a1＝1，

得

即

當n＝1時，d≤2；

當n＝2，3，…，k﹣1時，由，得d，

所以d，

所以1000＝k，即k2﹣2000k+1000≤0，

得k≤1999

所以k的最大值為1999，k＝1999時，a1，a2，…ak的公差為．