Question

如圖，在三棱拄中，側面，已知AA₁=2,,

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）試在棱(不包含端點上確定一點的位置,使得；

(Ⅲ) 在（Ⅱ）的條件下,求二面角的平面角的正切值.

Answer 1

（Ⅰ） 見解析   （Ⅱ）為的中點  (Ⅲ)

解析:

（Ⅰ）因為側面，故

 在△BC₁C中，

由余弦定理有

  故有 

  而     且平面

       ……4分

（Ⅱ）由

從而  且 故

 不妨設  ，則，則 

又  則

在直角三角形BEB₁中有   從而

故為的中點時， ……9分

 法二：以為原點為軸，設，則     

 由得    即

      

      化簡整理得       或

     當時與重合不滿足題意    當時為的中點

     故為的中點使 ……9分

 （Ⅲ）取的中點，的中點，的中點，的中點 連則，連則，連則 連則，且為矩形，又   故為所求二面角的平面角

在中，

 ……14分

法二：由已知， 所以二面角的平面角的大小為向量與的夾角

因為  

故  ……14分