Question

【題目】(2015·新課標I卷）選修4-1：幾何證明選講
如圖AB是⊙O直徑，AC是⊙O切線，BC交⊙O與點E.

（1）若D為AC中點，求證：DE是⊙O切線；
（2）若OA=CE，求∠ACB的大小.

Answer 1

【答案】
（1）

證明：聯結AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB，在Rt△AEC中，由已知得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE,連接OE, ∠OBE=∠OEB，∵∠ACB+∠ABC=90°，∴∠OED=90°，∴DE是圓O的切線，

（2）

60°

【解析】
（I）證明：聯結AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB，在Rt△AEC中，由已知得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE,連接OE, ∠OBE=∠OEB，∵∠ACB+∠ABC=90°，∴∠OED=90°，∴DE是圓O的切線，
（Ⅱ）解：設CE=1，AE=x, 由已知得AB=2，BE=，由射影定理可得，AE2=CE·BE，∴x2=,解得x=, ∴∠ACB=60°。


在解有關切線的問題時，要從以下幾個方面進行思考：①見到切線，切點與圓心的連線垂直于切線；②過切點有弦，應想到弦切角定理；③若切線與一條割線相交，應想到切割線定理；④若要證明某條直線是圓的切線，則證明直線與圓的交點與圓心的連線與該直線垂直.
（I）由圓的切線性質及圓周角定理知，AE⊥BC ， AC⊥AB ， 由直角三角形中線性質知DE=DC ， OE=OB ， 利用等量代換可證∠DEC+∠OEB=90°，即∠OED=90°，所以DE是圓O的切線；
（Ⅱ）設CE=1,由OA= CE，得AB= ，設AE=x，由勾股定理得BE= ，由直角三角形射影定理可得AE2=CE·BE，列出關于x的方程，解出x，即可求出∠ACB的大小.