Question

【題目】橢圓的離心率為，其左焦點到點的距離為，不過原點O的直線與C交于A,B兩點，且線段AB被直線OP平分.

（1）求橢圓C的方程；

（2）求k的值；

（3）求面積取最大值時直線l的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）利用兩點間的距離公式以及離心率求出，再由，即可求解.

（2）設，由，消元利用韋達定理求得線段的中點，再根據線段的中點在上，可求出解.

（3）由（2）求出，到直線的距離，即可求得的面積，從而問題得解.

（1）由題意可得，解得，

，

橢圓C的方程.

（2）設，由直線不過原點，可得.

由 ，消元可得①,

,

線段的中點，

在上，易知直線的解析式為，

，.

（3）由（2），將①化為，

又直線與橢圓相交，

，

，

，

又到直線的距離，

的面積，

令，

則，

，

，取得最大值，即取得最大值，

所求直線的方程為.