Question

【題目】對于函數，若，則稱為的“不動點”，若，則稱為的“穩定點”，函數的“不動點”和“穩定點”的集合分別記為和，即，，那么，

（1）求函數的“穩定點”；

（2）求證：；

（3）若，且，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）“穩定點”為；（2）見解析；（3）

【解析】

本題拿出一個概念來作為新型定義題，只需要去對定義的理解就好，要求函數的“穩定點”只需求方程中的值，即為“穩定點”

若，有這是不動點的定義，此時得出，，如果，則直接滿足.

先求出即存在“不動點”的條件，同理取得到存在“穩定點”的條件，而兩集合相等，即條件所求出的結果一直，對結果進行分類討論.

（1）由有，得：，所以函數的“穩定點”為；

（2）證明：若，則，顯然成立；

若，設，有，則有，

所以，故

（3）因為，所以方程有實根，即有實根，

所以或，解得又由得：即由（1）知，故方程左邊含有因式

所以，又，

所以方程要么無實根，要么根是方程的解，

當方程無實根時，或，即，

當方程有實根時，則方程的根是方程的解，

則有，代入方程得，故，

將代入方程，得，所以.

綜上：的取值范圍是.