Question

函數f（x）=x²和g（x）=log₃（x+1）的部分圖象如圖所示，設兩函數的圖象交于點O（0，0），A（x₀，y₀）．
（Ⅰ）請指出圖中曲線C₁，C₂分別對應哪一個函數？
（Ⅱ）求證x₀∈（

1

2

，1）；
（Ⅱ）請通過直觀感知，求出使f（x）＞g（x）+a對任何1＜x＜8恒成立時，實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：對數函數的圖像與性質

專題：計算題,作圖題,函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）由圖象特征可知，C₁是g（x）=log₃（x+1）的圖象，C₂對應f（x）=x²；
（Ⅱ）令F（x）=f（x）-g（x）=x²-log₃（x+1），利用函數的零點判定定理證明；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，F(xiàn)（1）=1-log₃2＞0，且由圖象可知，a＜1-log₃2．

解答： 解：（Ⅰ）C₁是g（x）=log₃（x+1）的圖象，
C₂對應f（x）=x²；
（Ⅱ）證明：令F（x）=f（x）-g（x）=x²-log₃（x+1），
∵F（

1

2

）=

1

4

-log₃（

1

2

+1）=log₃2-

3

4

＜0，
F（1）=1-log₃2＞0，
故存在x₀∈（

1

2

，1），使F（x₀）=0，
即x₀是函數f（x）=x²和g（x）=log₃（x+1）的圖象的交點；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，F(xiàn)（1）=1-log₃2＞0，
且由圖象可知，
a＜1-log₃2．

點評：本題考查了冪函數與對數函數的區(qū)別及函數圖象的應用，屬于中檔題．