Question

如圖所示，在△ABC中，點M是BC的中點，點N在AC上，且AN=2NC，AM與BN交于點P，求AP：PM與BP：PN的值．

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應用

分析：根據題意把設

BM

=

a

，

CN

=

b

，作為該平面的一組基底，根據向量運算的三角形法則及共線向量定理分別表示出

AM

，

AP

，即可求得AP：PM，BP：PN的值．

解答： 解：設

BM

=

a

，

CN

=

b

，
則

AM

=

AC

+

CM

=-3

b

-

a

，

BN

=

BC

+

CN

=2

a

+

b

，
∵A、P、M和B、P、N分別共線，
∴存在實數λ、μ使

AP

=λ

AM

=-λ

a

-3λ

b

，

BP

=μ

BN

=2μ

a

+μ

b

，
故

BA

=

BP

-

AP

=（λ+2μ）

a

+（3λ+μ）

b

．
而

BA

=

BC

+

CA

=2

a

+3

b

∴

λ+2μ=2 3λ+μ=3

，解得

λ= 4 5 μ= 3 5

故

AP

=

4

5

AM

，

BP

=

3

5

BN

，即AP：PM=4：1．BP：PN=3：2；

點評：考查向量加法的三角形法則和共線向量定理以及平面向量基本定理，要用已知向量表示未知向量，把向量放在封閉圖形中求解，體現了轉化的思想和數形結合的思想方法．