Question

已知

a

=（

3

sinx，cosx+sinx），

b

=（2cosx，sinx-cosx），f（x）=

a

•

b

．
（1）求函數f（x）的單調遞增區間；
（2）當x∈[

5π

24

，

5π

12

]時，對任意t∈R，不等式mt²+mt+3≥f（x）恒成立，求實數的m取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,平面向量數量積的運算

專題：函數的性質及應用,三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）首先根據向量的坐標運算求出函數的解析式，進一步變函數為正弦型函數，最后求出單調區間．
（2）根據函數與的定義域求出函數的值域，進一步利用恒成立問題，利用分類討論的思想求出m的取值范圍．

解答： 解：（1）已知，

a

=（

3

sinx，cosx+sinx），

b

=（2cosx，sinx-cosx），
則：f（x）=

a

•

b

=2

3

sinxcosx+(cosx+sinx)（sinx-cosx）
=

3

sin2x-cos2x
=2sin(2x-

π

6

)，
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
解得：-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ，
所以：函數f（x）的單調遞增區間為：[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]（k∈Z）．
（2）當x∈[

5π

24

，

5π

12

]時，

π

4

≤2x-

π

6

≤

2π

3

，

2

≤2sin(2x-

π

6

)≤2，
對任意t∈R，不等式mt²+mt+3≥f（x）恒成立．
只需滿足：mt²+mt+3≥f（x）_max成立即可．
即mt²+mt+1≥0即可．
①當m=0時，恒成立
②當m≠0時，只需滿足

m＞0 △≤0

解得：0＜m≤4
綜合所得：0≤m≤4．

點評：本題考查的知識要點：三角函數關系式的恒等變換，向量的坐標運算，正弦型函數的單調區間，恒成立問題的應用．屬于基礎題型．