Question

已知{a_n}是公差不為零的等差數列，a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比數列．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項；
（Ⅱ）記b_n=2^a_n，數列{b_n}的前n項和為S_n．求證S_n＜2ⁿ⁺¹．

Answer 1

考點：數列的求和,數列與不等式的綜合

專題：等差數列與等比數列

分析：（I）等差數列與等比數列的通項公式即可得出；
（II）b_n=2^a_n=2ⁿ．利用等比數列的前n項和公式可得S_n=2ⁿ⁺¹-2．即可證明．

解答： （I）解：設等差數列{a_n}的公差為d≠0，∵a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比數列．∴

a

2 3

=a₁a₉，即（1+2d）²=1×（1+8d），化為d²-d=0，又d≠0，解得d=1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
（II）證明：b_n=2^a_n=2ⁿ．
∴數列{b_n}的前n項和為S_n=

2(2n-1)

2-1

=2ⁿ⁺¹-2．∴S_n＜2ⁿ⁺¹．

點評：本題考查了等差數列與等比數列的通項公式及其等比數列的前n項和公式，考查了計算能力，屬于基礎題．