Question

【題目】設是同一球面上的四點，是邊長為6的等邊三角形，若三棱錐體積的最大值為，則該球的表面積為（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

作出圖形由圖知，當點D與球心O以及△ABC外接圓圓心三點共線且D與△ABC外接圓圓心位于球心的異側時，三棱錐D﹣ABC的體積取得最大值，結合三棱錐的體積求出棱錐的h，然后利用勾股定理求球O的半徑R，最后利用表面積公式可求出答案．

如圖所示，

由題意可知，設點M為△ABC外接圓的圓心，當點D、O、M三點共線時，且D、M分別位于點O的異側時，三棱錐D﹣ABC的體積取得最大值，

△ABC的面積為，

由于三棱錐D﹣ABC的體積的最大值為，得DM＝6，

易知DM⊥平面ABC，則三棱錐D﹣ABC為正三棱錐，△ABC的外接圓直徑為2AM=，∴AM=2，設球O的半徑為為R，在直角三角形AOM中，

由勾股定理得,即,解得R=4或R=6(舍去)

因此，球O的表面積為．

故選：A．