Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₅=5，S₇=28．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng){a_n}；      
（2）求數(shù)列{

1

Sn

}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）若數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b_n+1=b_n+q^a_n（q＞0，n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，并比較b_n•b_n+2與b_n+1²的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式即可得出；
（2）Sn=

n(n+1)

2

，可得

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2[

1

n

-

1

(n+1)

]，利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．
（3））由于bn+1-bn=qn，當(dāng)n≥2時(shí)，可得b_n=b₁+（b₂-b₁）+…（b_n-b_n-1）=

n，(q=1) 1-qn 1-q (q≠1)

，對(duì)q=1或q≠1時(shí)，計(jì)算b_n•b_n+2-b_n+1²即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}為d，
∵a₅=5，S₇=28．
∴

a1+4d=5 7a1+ 7×6 2 d=28

，
解得

a1=1 d=1

，
∴a_n=1+（n-1）=n．
（2）∵Sn=

n(n+1)

2

，
∴

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2[

1

n

-

1

(n+1)

]，
∴Tn=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=2(1-

1

n+1

)=

2n

n+1

．
（3）∵bn+1-bn=qn，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=b₁+（b₂-b₁）+…（b_n-b_n-1）=1+q+q²+…q^n-1=

n，(q=1) 1-qn 1-q (q≠1)

當(dāng)n=1時(shí)，b₁=1滿足上式，
∴bn=

n，(q=1) 1-qn 1-q (q≠1)

．
當(dāng)q=1時(shí)，bn•bn+2-bn+12=n(n+2)-(n+1)2=-1＜0，
當(dāng)q≠1時(shí)，bn•bn+2-bn+12=

1-qn

1-q

•

1-qn+2

1-q

-(

1-qn+1

1-q

)2=-qn＜0，
∴bn•bn+2＜bn+12．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．