Question

某牛奶廠要將一批牛奶用汽車從所在城市甲運至城市乙，已知從城市甲到城市乙只有兩條公路，且運費由廠商承擔．若廠商恰能在約定日期(×月×日)將牛奶送到，則城市乙的銷售商一次性支付給牛奶廠20萬元；若在約定日期前送到，每提前一天銷售商將多支付給牛奶廠1萬元；若在約定日期后送到，每遲到一天銷售商將少支付給牛奶廠1萬元．為保證牛奶新鮮度，汽車只能在約定日期的前兩天出發，且只能選擇其中的一條公路運送牛奶，已知下表內的信息：

統計信息 汽車行駛路線	在不堵車的情況下到達城市乙所需時間(天)	在堵車的情況下到達城市乙所需時間(天)	堵車的概率	運費(萬元)
公路1	2	3		1.6
公路2	1	4		0.8

（I）記汽車選擇公路1運送牛奶時牛奶廠獲得的毛收入為(單位：萬元)，求的分布列和數學期望；
（II）如果你是牛奶廠的決策者，你選擇哪條公路運送牛奶有可能讓牛奶廠獲得的毛收入更多？
(注：毛收入＝銷售商支付給牛奶廠的費用－運費)

Answer 1

（1）分布列詳見解析，；（2）選擇公路2運送牛奶有可能讓牛奶廠獲得的毛收入更多.

解析試題分析：本題主要考查實際問題中的數學問題，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望.第一問，通過分析題意，有堵車和不堵車2種情況，分別求出這2種情況牛奶廠獲得的毛收入的值，列出分布列，用期望的計算公式計算出期望；第二問，第二問的情況和第一問一樣，先求出走公路2時，毛收入的期望，再比較2個期望和的大小.
試題解析：（I）若汽車走公路1.
不堵車時牛奶廠獲得的毛收入 (萬元)；
堵車時牛奶廠獲得的毛收入 (萬元)．                2分
∴汽車走公路1時牛奶廠獲得的毛收入的分布列為

ξ	18.4	17.4
P

∴ (萬元)．                             5分
（II）設汽車走公路2時牛奶廠獲得的毛收入為，則
不堵車時牛奶廠獲得的毛收入 (萬元)；
堵車時牛奶廠獲得的毛收入 (萬元)．                7分
∴汽車走公路2時牛奶廠獲得的毛收入的分布列為

η	20.2	17.2
P

 (萬元)．                              10分
∵，
∴選擇公路2運送牛奶有可能讓牛奶廠獲得的毛收入更多．               12分
考點：離散型隨機變量的分布列和數學期望.