Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=

1

2

AB=1，M是PB的中點．
（1）求二面角P-AC-M的平面角的余弦值；
（2）在棱PC上是否存在點N，使DN∥平面AMC，若存在，確定點N的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標系，用坐標表示點與向量，求出平面AMC的一個法向量，平面PAC的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求得二面角P-AC-M的平面角的余弦值；
（2）存在，且N為PC中點，利用

DN

•

n

=0，可得結論．

解答：解：（1）如圖建立空間直角坐標系，則A（0，0，0），M（0，1，

1

2

），C（1，1，0），B（0，2，0），P（0，0，1）…（1分）
∴

AC

=(1，1，0)，

AM

=(0，1，

1

2

)，
設平面AMC的一個法向量

n

=(x，y，z)
由

n • AC =x+y=0 n • AM =y+ 1 2 z=0

，取x=1，則y=-1，z=2，∴

n

=（1，-1，2）…（3分）
又∵

BC

•

AC

=（1，-1，0）•（1，1，0）=0，

BC

•

AP

=(1，-1，0)•(0，0，1)=0
∴

BC

是平面PAC的一個法向量，…（5分）
∴cos＜

n

，

BC

＞=

n • BC

|n||BC|

=

3

3

，
所求二面角的余弦值為

3

3

…（6分）
（2）存在，且N為PC中點
設

PN

=λ

PC

=λ(1，1，-1)，

DN

=

DP

+

PN

=（λ-1，λ，1-λ）…（9分）
依題意知，

DN

•

n

=1-2λ=0，
∴λ=

1

2

，
∴

PN

=

1

2

PC

，即N為PC中點…（12分）

點評：本題考查面面角，考查線面平行，考查利用向量方法解決立體幾何問題，解題的關鍵是確定平面的法向量．