Question

在R上定義的函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，且f（x）=f（2-x），若f（x）在區(qū)間x∈[1，2）是減函數(shù)，則函數(shù) f（x）（　　）

• A、在區(qū)間[-2，-1]上是減函數(shù)，區(qū)間[3，4]上是增函數(shù)
• B、在區(qū)間[-2，-1]上是減函數(shù)，區(qū)間[3，4]上是減函數(shù)
• C、在區(qū)間[-2，-1]上是增函數(shù)，區(qū)間[3，4]上是增函數(shù)
• D、在區(qū)間[-2，-1]上是增函數(shù)，區(qū)間[3，4]上是減函數(shù)

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先再根據(jù)函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，得到函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，根據(jù)條件f（x）=f（2-x），函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，由函數(shù)的對稱性研究還可得到函數(shù)的周期性，利用已知f（x）在區(qū)間x∈[1，2）是減函數(shù)，得到函數(shù)f（x）在相關(guān)區(qū)間上的單調(diào)性，得到本題結(jié)論．

解答： 解：∵定義的函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），
函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，
∴f（x）在區(qū)間x∈[1，2]是減函數(shù)，
∴f（x）在區(qū)間x∈[-2，-1]是增函數(shù)
∵f（x）=f（2-x），
∴f（1+x）=f[2-（1+x）]=f（1-x），
函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱．
∴f（x）在區(qū)間x∈[3，4]是減函數(shù)．
故選D．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性與圖象的對稱性、單調(diào)性的關(guān)系，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．