Question

已知圓M的圓心在x軸上，半徑為1，直線l：y=

4

3

x-

1

2

被圓M所截的弦長為

3

，且圓心M在直線l的下方．
（Ⅰ）求圓M的方程；
（Ⅱ）若線段PQ的端點P的坐標為（4，3），端點Q在圓M上運動，線段PQ上一點R滿足

PR

=2

RQ

，求R點軌跡方程．
（Ⅲ）設A（0，t），B（0，t+6），（-5≤t≤-2），若圓M是△ABC的內切圓，求△ABC的面積S的最大值和最小值．

Answer 1

考點：軌跡方程,圓的標準方程

專題：綜合題,直線與圓

分析：（I）設圓心M（a，0），利用M到l：8x-6y-3=0的距離，求出M坐標，然后求圓M的方程；
（II）利用代入法，即可求出R點軌跡方程；
（Ⅲ）設A（0，t），B（0，t+6）（-5≤t≤-2），設AC斜率為k₁，BC斜率為k₂，推出直線AC、直線BC的方程，求出△ABC的面積S的表達式，求出面積的最大值和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）設圓心M（a，0），由已知，得M到l：8x-6y-3=0的距離為

1

2

，∴

|8a-3|

82+62

=

1

2

，
又∵M在l的下方，∴8a-3＞0，∴8a-3=5，a=1，故圓的方程為（x-1）²+y²=1．
（Ⅱ）設Q（a，b），R（x，y），則a=1.5x-2，b=1.5y-1.5，
∵端點Q在圓M上運動，
∴（1.5x-3）²+（1.5y-1.5）²=1；
（Ⅲ）設AC斜率為k₁，BC斜率為k₂，則直線AC的方程為y=k₁x+t，直線BC的方程為y=k₂x+t+6．
聯立得C點的橫坐標為x_c=

6

k1-k2

，
∵|AB|=t+6-t=6，∴S=

1

2

•

6

k1-k2

•6=

18

k1-k2

，
由于圓M與AC相切，所以1=

|k1+t|

1+k12

，∴k₁=

1-t2

2t

；
同理，k₂=

1-(t+6)2

2(t+6)

，
∴k₁-k₂=

3(t2+6t+1)

t2+6t

，
∴S=6（1-

1

t2+6t+1

），
∵-5≤t≤-2，∴-2≤t+3≤1，∴-8≤t²+6t+1≤-4，
∴S_max=

15

2

，S_min=

27

4

．

點評：本題是中檔題，考查直線與圓的位置關系，三角形面積的最值的求法，考查計算能力．