Question

（滿分13分）
如圖，已知三棱錐A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M為AB中點，D為PB中點，且△PMB為正三角形．

(1)求證：DM∥平面APC；
(2)求證：平面ABC⊥平面APC；

Answer 1

（1）要證DM∥平面APC，只需證明MD∥AP（因為AP?面APC）即可．
（2）在平面ABC內直線AP⊥BC，BC⊥AC，即可證明BC⊥面APC，從而證得平面ABC⊥平面APC；

試題分析：解：(1)由已知得，MD是△ABP的中位線   ∴MD∥AP
∵MD?面APC，AP?面APC
∴MD∥面APC
(2)∵△PMB為正三角形，D為PB的中點，
∴MD⊥PB，∴AP⊥PB  又∵AP⊥PC，PB∩PC＝P ∴AP⊥面PBC
∵BC?面PBC ∴AP⊥BC  又∵BC⊥AC，AC∩AP＝A
∴BC⊥面APC  ∵BC?面ABC  ∴平面ABC⊥平面APC
點評：解決的關鍵是利用線面和面面的平行和垂直的判定定理來分析證明，屬于基礎題。