Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，，點在橢圓上，點滿足以為直徑的圓過橢圓的上頂點.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線過右焦點與橢圓交于兩點，在軸上是否存在點使得為定值？如果存在，求出點的坐標；如果不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，

【解析】

（1）由點在橢圓上代入可得，的關系，再由點滿足以為直徑的圓過橢圓的上頂點．可得可得，的關系，再由，，的關系求出橢圓的方程；

（2）由（1）可得右焦點的坐標，分坐標的斜率為0和不為0兩種情況討論，假設存在滿足條件，設直線的方程，與橢圓聯立求出兩根之和及兩根之積，進而求出數量積的表達式，要使數量積為定值，則分子分母對應項的系數成比例，可得的值，且可求出定值．

解：（1）由題意可得上頂點，，所以：，，即，，即，，

解得：，，

所以橢圓的方程為：；

（2）由（1）可得右焦點的坐標，假設存在

當直線的斜率不為0時，設直線的方程為：，設，，，，

聯立直線與橢圓的方程，整理可得：，，，

，，

因為

，

要使為定值，則，解得：，這時為定值，

當直線的斜率為0時，則，，為，，則，，，

綜上所述：所以存在，，使為定值．