Question

【題目】已知，函數.

（1）求證：曲線在點處的切線過定點；

（2）若是在區間上的極大值，但不是最大值，求實數的取值范圍；

（3）求證：對任意給定的正數，總存在，使得在上為單調函數.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據導數的幾何意義可求得直線的斜率，從而得切線方程為，進而得切線過定點；（2）令得或，是在區間上的極大值可得且，可得結果；（3）令，得或遞增；令，得遞減，若在為單調函數，則，即.

試題解析：（1），

曲線在點處的切線方程為，

即，令，則，

故曲線在點處的切線過定點.

（2）解：.

令得或.

是在區間上的極大值，.

令，得或遞增；令，得遞減.

不是在區間上的最大值，

在區間上的最大值為.

，又.

（3）證明：.

.

令，得或遞增；令，得遞減.

.

若在為單調函數，則，即.

故對任意給定的正數，總存在（其中），使得在上為單調函數.